A számlálási készség kritériumorientált fejlesztése

wadmin | 2009. jún. 17.

Józsa Krisztián

A számlálási készség kritériumorientált fejlesztése

Az elemi számlálási készség mint kritikus kognitív készség

Gyakran előfordul, hogy egy-két éves gyerekek szülei büszkén arra biztatják gyermeküket, hogy számoljanak. A gyerekek pedig többnyire nagy örömmel mutatják be "tudományukat". A számoknak ez a mondókaszerű ismerete a legtöbb esetben természetesen még nem takar számfogalmat. Ha például azt kérik tőlük, hogy csak kettőtől kezdve számoljanak vagy esetleg négytől visszafelé, ez általában nem sikerül, holott lehet, hogy már tízig is megy a "mondóka". A számlálás ekkor még csak az egyestől indulva működik, és a gyereknek többnyire nem tűnik fel, ha egy-egy szám véletlenül kimarad. A mondókaszerű számlálás, a számok neveinek, auditív képének memorizálása az első, igen lényeges lépés a számlálási készség kialakulása felé.

A számlálási készség kialakulása átlagosan hároméves kor körül indul meg. A hetvenes években végzett vizsgálatok1 megmutatták, hogy az iskolába lépő gyerekeknek több mint a fele a húszas, 16%-a pedig már a százas számkörben is biztosan számlál. Sőt, a gyerekek pár százalékának az ezres számkör sem okoz gondot. Emellett közel 10%-uknak komoly nehézséget jelent a 10-ig, néhányuknak pedig az 5-ig számlálás. Ők a 3-4 évesek átlagos fejlettségi szintjén lépnek be az iskolába.

A gyerekek számlálási készségének fejlettségbeli különbségei tehát iskolába lépéskor szélsőségesen nagyok. A fent említett vizsgálatok empirikusan azt is alátámasztották, hogy évekig tartó, hosszú folyamat a számlálási készség fejlődése. Átlagosan 4-5 évbe is beletelik, amíg spontán fejlődés mellett a húszas számkörbeli számlálás kialakul. Összehasonlíthatatlan előnyökkel startol tehát az iskolában az a tanuló, aki a húszas, esetleg a százas számkör ismeretével ül be az iskolapadba. Ez azt is jelenti, hogy akinek a számlálási készsége óvodáskorban nem éri el a megfelelő fejlettségi szintet, az szinte behozhatatlan hátrányban van. Neki a számlálásra kell koncentrálnia, míg sokaknál a számlálás már optimalizálódott, rutinszerűvé vált, és így figyelmüket újabb ismeretek, készségek elsajátítására tudják összpontosítani.

A számlálást ciklikus kognitív készségnek tekintjük2 Ciklikus alatt azt értjük, hogy a készséget felépítő elemek automatizálódnak, úgynevezett kognitív rutinokká szerveződnek, és bizonyos komponensei ismétlődnek. Azaz optimális begyakorlottság esetén rutinszerűen, különösebb erőfeszítés nélkül működnek. Egy szám felidézi a rákövetkező számot (visszafelé számlálásnál az előtte lévőt), és a számlálás tetszőleges helyen kezdhető és megszakítható.

A számlálás optimális elsajátítása, begyakorlása elengedhetetlen a számfogalom kialakulásához. Akik a számlálási készséget nem sajátítják el optimális szinten, azoknak a legelemibb matematikai feladatok is megoldhatatlan kihívást jelentenek. Az elemi3 és az alapműveleti4 számolási készség fejlődése nem indulhat meg a számlálási készség optimális elsajátítása nélkül. Ebben az értelemben tehát a számlálás a számfogalom kialakulásának, a matematikának a kritikus kognitív készsége. A számlálási készség optimális elsajátításának hiánya esetén a matematikatanulás nem lehet eredményes.

4-5 éves gyerekek körében végzett vizsgálatok5 megmutatták, hogy a számlálási készség és az értelem általános fejlettsége között igen szoros kapcsolat van. A nyolcvanas évek végén végzett vizsgálatban öt intelligenciateszt összevont mutatója és a számlálási készség között igen szoros (r=0,79) korreláció volt. Ez azt jelenti, hogy akiben a számlálási készség nem ér el megfelelő fejlettségi szintet, annak az általános értelmi fejlettsége is csak alacsony lehet. Ebben az értelemben a számlálási készség az értelem, a személyiség kritikus kognitív készsége6. A számlálást ezért életkortól függetlenül mindaddig fejleszteni, gyakorolni kell, amíg az optimális módon ki nem alakul.

Diagnosztikus értékelésre alapozó kritériumorientált fejlesztés

A számlálási készség diagnosztikus értékelése

Egy készség kritériumorientált fejlesztésének egyik alapfeltétele, hogy meg tudjuk adni az elsajátítás kritériumát, azaz a fejlesztés végcélját.7 Ehhez ismernünk kell:

  • az elsajátítandó elemek körét, jelen esetben ez a számok ismerete százas számkörben, és

  • az optimális begyakorlottság szintjét, jelen esetben ez a hibátlan számlálás százas számkörben.

A fejlesztés másik alapfeltétele, hogy minden egyes gyerek esetében ismerjük a készség aktuális fejlettségét. Ebben az esetben lehetséges az egyéni fejlettségi szinthez igazított, optimális nehézségű feladat megválasztása. A végcél ismerete szükséges többek között ahhoz, hogy kiaknázhassuk az elsajátítási motivációban rejlő tanulási, elsajátítási késztetést.8

A számlálási készség fejlettségének diagnózisára alkalmas mérőeszközt találni viszonylag egyszerű, hiszen nem különálló komponensek sokaságából épül össze9. Húszas számkörig alkalmas lehet pusztán annak a számnak a megadása, ameddig az elszámlálás sikeres volt. Ismertek azonban azok a vizsgálati eredmények, amelyek szerint például a számkör 40-ig való továbbépülése már nem tart annyi ideig, nem jelent akkora kognitív erőfeszítést, mint a húszas számkör kiépülése.10 Így, ha csupán azt a számot tekintenénk a készség fejlettségi mutatójának, ameddig sikerült elszámolni, akkor a skála a fejlődést torz módon képezné le. Minél nagyobb számkörben nézzük a számlálás fejlettségének mutatóját, a torzítás annál nagyobb. Emellett persze kivitelezhetetlen és értelmetlen is lenne addig elszámoltatni a gyereket, ameddig csak tud. Nagy József a Prefer11 battériában olyan tesztet dolgozott ki a számlálási készség fejlettségének jelzésére, mely rövid, és a fejlettséget kifejező összpontszám a készségekről feltételezett logisztikus (nyújtott S alak) alakot követi.

A számlálási készség diagnózisát két nagycsoportos gyermek esetében az 1. táblázatban tüntettük fel. Az első oszlop azt mutatja, hogy a gyerek meddig tudott elszámolni. A lehetséges legnagyobb szám itt 21, hiszen ha sikerült eddig elszámolnia, akkor a mérőbiztos leállította, és a harmincas átlépést kérő feladattal folytatta. A további hat elem 0 vagy 1 értéket kap, annak megfelelően, hogy a kért átlépést tudta-e. Ha nem sikerült egy átlépés, akkor az esetek nagy többségében a nagyobb számkörbeli sem sikerül, de ez nem törvényszerű. A harmadik sikertelen átlépés után azonban nem adtunk újabb feladatot a gyereknek. Így tehát az első elemre 21, a további hatra 1-1 pontot kaphattak, eszerint a számolási készség összesített mutatója legfeljebb 27 pont. Ezt tartalmazza a táblázat utolsó előtti oszlopa. Az utolsó oszlop ugyanezen összesített mutató százalékpontban (%p) kifejezve.

A számlálási készség fejlettségének diagnosztikus értékelése példaként kiválasztott két gyerek esetén
1. táblázat

Gyermek  Analitikus diagnózis  Összesen 
  0-21  30  40  50  60  100  500  Öp  %p 
1.  21  23  85 
2.  10  10  37 

A kísérletben részt vevő minden gyermek (minden óvodás és minden iskolás) kapott egy füzetet12, amely a fejlesztett készségek esetében tartalmazza rávonatkozóan az analitikus diagnózist és a készségek fejlettségét összességében tükröző mutatókat. Az óvónők és tanítónők megkapták az összes gyermek fejlődési mutatóját, s az egyéni fejlesztés ennek alapján indult meg.

A számlálási készség elsajátításának kritériuma

Az optimális elsajátítás normál eloszláson alapuló elméleti modellje szerint az elsajátítás kritériuma 93%p-ban állapítható meg13. A teszten 27 nyerspontot lehetett elérni, ennek megfelelően 1 nyerspont 3,7%p-nak felel meg. Így az elméleti modell figyelembevételével a számlálási készség elsajátításának kritériumát 25 nyerspont elérésében állapítottuk meg, ez kerekítve 93%p-ot jelent. A kritériumorientált fejlesztés életkortól és osztálytól függetlenül tehát mindaddig folyik, amíg az optimális elsajátítás, az optimális begyakorlottság létre nem jön.

A számlálási készség spontán optimalizációja

A számlálási készség fejlettségének vizsgálatát a kísérleti év kezdetén valamennyi óvodással és első, második osztályossal elvégeztük. A vizsgálat alapján felrajzolt fejlődési görbét láthatjuk az 1. ábrán.

A számlálási készség spontán fejlődése és az optimumot elérők aránya az indulószintek keresztmetszeti vizsgálata alapján (1999. október)
1. ábra

Az átlag körül feltüntettük a szórástartományt. A szórástartományon belül található a gyerekek kb. kétharmad része, kívül, felett, illetve alatt kb. 15-15%-uk. A görbe három évet átfogó életkori szakaszt (középső csoport év elejétől 2. osztály év elejéig) fed le. Ezalatt a fejlődés jó közelítéssel egyenletes (az átlagos fejlődést kifejező görbe lineáris), és összességében 47%pontnyi, azaz közelítőleg 16%pont évente. A fejlődés egyenletessége egyben azt is jelenti, hogy az első osztály nem gyorsítja fel a fejlődés ütemét. Úgy tűnik tehát, hogy az iskolában a számlálási készség fejlesztésére nem fordítanak direkt figyelmet.

Ezt a fejlődési folyamatot spontán optimalizációnak, spontán fejlődésnek nevezzük, megkülönböztetve a kísérlet hatására bekövetkező változástól. A spontán fejlődés kifejezést tehát abban az értelemben használjuk, hogy a fejlődés nem a kísérleti beavatkozás hatására következett be.

Az ábrán a szürkére satírozott tartomány az optimumot elérők arányát jelzi, náluk a számlálási készség már működik. Látható, hogy az iskolába lépők körülbelül 40%-a érte el az optimális elsajátítás szintjét. Az optimumot elérők aránya csak második osztályban megy 90% fölé.

Kritériumorientált fejlesztés

A négyéves kísérlet első évének célja a diagnosztikus értékelésre alkalmas mérőeszközök kidolgozása és kipróbálása, a készségek spontán fejlődési folyamatának feltárása, a fejlesztésre alkalmas módszerek kidolgozása, a következő tanévtől induló fejlesztés előkészítése, a fejlesztési anyag kidolgozása és kipróbálása volt.

A számlálási készség fejlesztésére a kísérletben részt vevő óvónőkkel segédanyagot állítottunk össze. Ebben a füzetben főképp matematikai szerepjátékokat, egy-két perces számlálási gyakorlatokat, mondókákat gyűjtöttük össze. Az összeállítás során nagyban támaszkodtunk a meglevő gyűjteményekre14 és a kísérletben részt vevő óvónők sokéves tapasztalatára. Az összeállított fejlesztési anyagot novembertől kezdődően kipróbálás céljából elkezdtük használni, aminek eredményeként a gyerekek valamivel több mint fél tanévnyi fejlesztésben vettek részt. A fejlesztési anyagot az elsős és másodikos tanítók is megkapták. Velük ezen túl is állítottunk össze feladatokat.

A diagnosztikus értékelés alapján az óvónőknek egyértelmű képük volt a gyerekek számlálási készségének fejlettségéről. A gyerekekkel számlálási készségük fejlettségétől függően egyénileg foglalkoztak. A számlálási készség fejlettségi szintje szerint csoportokat képeztek (más készség, például a beszédhanghallás esetén másként rendeződtek a gyerekek csoportokba), ezekkel az elemi csoportokkal külön-külön foglalkoztak. Továbbá az egész csoporttal játszottak csoportjátékokat. A játékokban természetesen részt vehettek azok a gyerekek is, akik a készség fejlődésében már előbbre voltak, ha élvezettel tették azt. A fejlesztés során mindvégig alapelv volt, hogy csak olyan játékba vonjuk be a gyerekeket, amelyben szívesen, örömmel vesznek részt.

A számlálás különböző játékok formájában naponta többször is előkerült, de mindig csak rövid, öt-tíz perces időszakokra. A "matematikai egyperceseknek" nevezett gyűjteményben olyan nagyon rövid számlálási gyakorlatok vannak, amelyekkel ki lehet használni a néhány perces üresjáratokat (pl. mosdóbeli várakozás), vagy más tevékenységek közti átkötésre lehetnek alkalmasak. A játékokat a gyerekek nagyon élvezték, sokszor kérték az óvónőket, hogy újra és újra játsszák azokat15

A játékokban fontos volt, hogy a lehető legtöbb kontextusba helyezve mutassuk meg a dolgok számosságát, a lehető legtöbb formában kerüljön elő a számlálás. Mire a három almából, a három tapsolásból, a háromnapos ünnepi hétvégéből önállósodik, absztrahálódik a három fogalma, hosszú idő telik el. A csoportjátékokban, szerepjátékokban, egyéni feladatokban minden lehetséges alkalmat megragadunk, hogy a különböző szituációkkal ennek a kialakulását segíteni tudjuk. Nagy hangsúlyt fektettünk a visszafelé számlálásra is. A visszafelé számlálás automatizálódása ugyanolyan fontos, mint a növekvő sorrendben végzett számlálás. Ennek optimalizálódása nélkül a különbségképzés, a kisebb-nagyobb fogalma, a kivonás készsége nem alakulhat ki.

A fejlesztés folyamatáról a kollégák naplót vezettek. A napló tartalmazta a használt játékokat, azok időtartamát, az egész csoportra, az elemi csoportokra, illetve az egyénekre vonatkozóan. A második félévtől az óvónők bemutató foglalkozásokat tartottak a kísérletben részt vevő többi óvónő számára. Ezeket a foglalkozásokat videón rögzítettük.

Az első kísérleti év tapasztalatai

Az egyik kísérleti nagycsoport

A számlálási készség féléves fejlesztése alatt bekövetkezett egyéni fejlődést az egyik nagycsoport példáján szemléltetjük. A 2. táblázatban feltüntettük a csoport hat óvodásának őszi és tavaszi diagnózisát. A táblázat utolsó oszlopa mutatja a számlálási készség fejlődését a kísérleti időszak alatt. A kiválasztott hat gyermek közül egynél, a 4-es sorszámúnál érte el a készség az optimális fejlettségi szintet. Ő a számlálás készségét elsajátította, a direkt fejlesztés tehát nála abbahagyható. Láthatjuk, hogy a fejlődés ütemében, még az azonos szintről indulók esetében is, jelentős egyéni különbségek vannak. A 2. és a 6. sorszámú gyerek októberben egyaránt a 37%ponttal jellemezhető fejlettségi szinten volt. A vizsgált fél év alatt a 2. sorszámú 44%pontot, a 6. pedig csak 22%pontot fejlődött.

A csoport 27 óvodásából októberben 1, a kísérleti év végén, májusban pedig 13 érte el az optimális elsajátítás kritériumát. A csoport átlagos fejlődése a vizsgált időszak alatt 24%pont, ez valamivel magasabb, mint az összes részt vevő nagycsoportost jellemző 17%pontos növekedés (lásd a 2. táblázat alsó két sorát).

A számlálási készség fejlődése az egyik nagycsoport hat gyermeke esetén
2. táblázat

Gyermek    Analitikus diagnózis  Összesen  Fejlődés 
    0-21  30  40  50  60  100  500  Öp  %p  %p 
1.  október  21  23  85   
  május  21  24  89  +4 
2.  október  10  10  37   
  május  21  22  81  +44 
3.  október  13  13  48   
  május  21  22  81  +33 
4.  október  21  21  77   
  május  21  26  96  +19 
5.  október  16  16  59   
  május  21  24  89  +30 
6.  október  10  10  37   
  május  16  16  59  +22 
Egy nagycsoportos  október  16  ,26  ,22  ,07  ,04  ,04  ,04  17  63   
  május  21  ,89  ,59  ,56  ,52  ,37  ,00  24  87  +24 
Nagycsoportosok együtt  október  17  ,41  ,32  ,22  ,15  ,14  ,03  18  68   
  május  20  ,73  ,60  ,55  ,54  ,44  ,07  23  84  +17 

A nagycsoportosok

A kísérlet fél éve alatt bekövetkező változást természetesen nem lehet teljes mértékben a fejlesztésnek tulajdonítani. A gyerekek számlálási készségében, spontán fejlődés eredményeként, beavatkozás nélkül is bekövetkezett volna bizonyos fokú fejlődés. Fontos tehát, hogy a kísérleti eredmények értelmezése során elkülönítsük a fejlesztés hatására bekövetkező változást a spontán fejlődéstől. A korábbiakban megmutattuk, hogy a spontán fejlődés egy év alatt átlagosan 16%p. A fejlesztés féléves időtartama alatt tehát közelítőleg 8%pontnyi spontán fejlődés feltételezhető.

A nagycsoportosok esetében a 2. ábrán feltüntettük a számlálási készség mért elemeit és a készség összesített fejlettségmutatóját a kísérleti félév végén (2000. május).

A készség fejlettségében három összetevőt különítettünk el.

  • A kísérlet kezdetekor (1999. október) mért, ún. indulószintet.

  • Az egy félév alatt feltételezhető ún. spontán fejlődést (korábbiak szerint 8%p). Az egyszerűség kedvéért minden elemnél ekkora spontán fejlődést feltételeztünk.

  • A fejlesztés hatására bekövetkező növekedést.
A számlálási készség fejlettsége a kísérleti félév után a nagycsoportosoknál (n=140)
2. ábra

A nagycsoportosok számlálási készsége a kísérleti félév alatt átlagosan 16%pontot fejlődött. Ebből a fejlődésből kb. 8%pontnyi tulajdonítható a spontán fejlődésnek és további 8%pontnyi a fejlesztés eredményének (lásd a 2. ábra utolsó oszlopát). A húszas számkörbeli számlálás már az indulószintnél is 81%pontos fejlettséget mutatott. Érthető tehát, hogy ebben az esetben az ún. plafoneffektus miatt az átlagosnál kisebb fejlődést kapunk: 95%p. Ez azt jelenti, hogy a féléves fejlesztés ellenére is a gyerekek közel 5%-a úgy lép be az iskolába, hogy nem tud 21-ig elszámolni. Fejlesztés nélkül ez az arány több mint 10% lenne. A hetvenes években országos reprezentatív mintán végzett vizsgálat eredményei szerint a hatéves gyerekeknek csupán a fele tudta a húszas átlépést16.

A százas számkörön belüli átlépéseket kérő feladatoknál, az ezres számkörön belül pedig a 100 átlépésénél igen jelentős, 20-30%p közötti növekedés tulajdonítható a fejlesztésnek. Még az 500-as átlépésben is a nagycsoportosok 7%-a sikeres volt. Ez azonban már túl van azon a körön, mint ami a nagycsoportos korú gyerekeknél reális fejlesztési célként kitűzhető. Ez okból az 500-as átlépés kísérleti félév alatt bekövetkezett 4%pontos fejlődése esetén nincs jelentősége a spontán fejlődés és a direkt fejlesztés arányát elemezni. A spontán fejlődésnek tulajdonított 8%pontos növekedés ennél az elemnél már nem is értelmezhető, így a 2. ábrán a fejlődést csak spontán fejlődésként tüntettük fel. Megállapítható tehát, hogy a gyerekek kis hányadánál a húszas, jelentős részüknél a százas, a nagy többségnél pedig az ezres számkörbeli számlálás optimális elsajátításának segítése az iskola feladata.

A korábbiakban megmutattuk, hogy spontán optimalizáció esetén az iskolába lépő gyerekeknél a számlálási készség átlagos fejlettsége 76%p, és körülbelül 40%-uk éri el az optimális elsajátítást (lásd 1. ábra). A félévnyi fejlesztésben részt vevő nagycsoportosoknál iskolába lépéskor a számlálási készség átlagos fejlettsége 84%p, és 52%-uk éri el az optimális elsajátítást.

A számlálási készség fejlődése a kísérleti félév alatt

A 3. ábrán feltüntettük a számlálási készség fejlődését, optimalizációs folyamatát a vizsgált életkori szakaszban. Az átlagos fejlettséget mutató görbe az első kísérleti év végének eredményeit mutatja, az átlag körül feltüntettük a szórástartományt. Az életkor előrehaladtával a szórás csökkenése és az átlag növekedése az elsajátítás jelzője. A gyerekek között a készségben kisebb egyéni különbségek vannak (kisebb a szórás). Az átlagos fejlettség elemzésénél azonban még jelentősebb az optimális elsajátítást elérők aránya, akik számlálási készségét kialakultnak, működőnek tekinthetjük. A világosszürkével satírozott tartomány azoknak az arányát mutatja, akiknél feltételezhetően a spontán fejlődés eredményeként kialakultnak tekinthető a számlálási készség. A sötétszürke tartomány a félévnyi fejlesztésnek tulajdonítható többletnövekedést szemlélteti. Az előző két alpontban a fejlesztés eredményét a nagycsoportosokon szemléltettük, a 3. ábrán azonban látható, hogy a többletnövekedés a teljes vizsgált életkori periódusban kimutatható. A kísérleti beavatkozásnak köszönhetően 10-20%-kal megnőtt az optimumot elérők aránya a vizsgált életkori szakaszban.

A számlálási készség optimalizációja
3. ábra

A számlálási készség közel fél éves fejlesztése látványos eredményeket hozott. Feltételezhető, hogy a középső és a nagycsoportot átfogó, kétéves fejlesztés eredményeként elérhető, hogy a gyerekek túlnyomó többségében a százas számkörbeli számlálás készsége kialakuljon. Feltételezhető továbbá, hogy nagy többségüknél az optimális elsajátítás az óvoda végére elérhető. Azoknál a gyerekeknél azonban, akiknél a számlálási készség optimális elsajátítása az óvodában nem fejeződik be, az iskolának kell direkt eszközökkel segítenie azt.

Webra folder: 
Tags: 
Mozgatva: 
0
Prefix: 

Támogatók

OFI

A honlapon található tanulmányok, egyéb szellemi termékek, illetve szerzői művek (a továbbiakban: művek) jogtulajdonosa az Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet. A jogtulajdonos egyértelmű forrásmegjelölés mellett felhasználást enged a művekkel kapcsolatban oktatási, tudományos, kulturális célból. A jogtulajdonos a művekkel kapcsolatos anyagi haszonszerzést azonban kifejezetten megtiltja.